题目
已知数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,且满足an+1=3Sn,n∈N*.数列{bn}满足bn=log4an.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)当n≥2时,试比较b1+b2+…+bn与
(n−1)2的大小,并说明理由.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)当n≥2时,试比较b1+b2+…+bn与
1 |
2 |
提问时间:2021-05-06
答案
(I)由an+1=3Sn(1),得an+2=3Sn+1(2),
由(2)-(1)得an+1-an+1=3an+1,
整理,得
=4,n∈N*.
所以,数列a2,a3,a4,…,an,是以4为公比的等比数列.
其中,a2=3S1=3a1=3,
所以an=
;
(II)由题意,bn=
.
当n≥2时,b1+b2+b3+…+bn
=0+(log43+0)+(log43+1)+…+(log43+n-2)
=(n−1)log43+
(n−2)(n−1)
=
[2log43−1+(n−1)]
=
[log4
+(n−1)]>
,
所以b1+b2+b3++bn>
.
由(2)-(1)得an+1-an+1=3an+1,
整理,得
an+2 |
an+1 |
所以,数列a2,a3,a4,…,an,是以4为公比的等比数列.
其中,a2=3S1=3a1=3,
所以an=
|
(II)由题意,bn=
|
当n≥2时,b1+b2+b3+…+bn
=0+(log43+0)+(log43+1)+…+(log43+n-2)
=(n−1)log43+
1 |
2 |
=
n−1 |
2 |
=
n−1 |
2 |
9 |
4 |
(n−1)2 |
2 |
所以b1+b2+b3++bn>
(n−1)2 |
2 |
(I)根据an+1=3Sn得an+2=3Sn+1两式相减整理可得得
=4进而可判断出数列a2,a3,a4,…,an,是以4为公比的等比数列.进而根据等比数列的通项公式求得当n≥2时的通项公式,最后综合可得数列{an}的通项公式;
(II)把(1)中的代入bn=log4an求得bn,进而对b1+b2+b3+…+bn进行分组求和求得b1+b2+b3+…+bn=
[log4
+(n−1)]
进而根据
[log4
+(n−1)]>
证明原式.
an+2 |
an+1 |
(II)把(1)中的代入bn=log4an求得bn,进而对b1+b2+b3+…+bn进行分组求和求得b1+b2+b3+…+bn=
n−1 |
2 |
9 |
4 |
进而根据
n−1 |
2 |
9 |
4 |
(n−1)2 |
2 |
数列的求和;数列递推式.
本题主要考查了数列的求和问题.求得数列的通项公式是关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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