题目

在圆x²+y²=5x内，过点(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）条弦，它们的长构成等差数列，若a₁为过该点最短弦的长，a_n为过该点最长弦的长，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是______．

提问时间：2021-05-06

答案

x2+y2＝5x⇒(x−

5

2

)2+y2＝

25

4

⇒圆心C(

5

2

，0)，半径R＝

5

2

，
故与PC垂直的弦是最短弦，所以a1＝2

R2−( PC 2 )2

＝4，
而过P、C的弦是最长弦，所以a_n=2R=5，
由等差数列an＝a1+(n−1)d⇒5＝4+(n−1)d⇒d＝

1

n−1

，d∈(

1

5

，

1

3

)⇒4<n<6，
因n∈N*，所以n=5，
故答案为：5．

由“r，d”法分别求得最短和最长弦长，即得到等差数列首项和未项，由等差数列通项公式结合公差d∈(

1

5

，

1

3

)，确定n的范围从而求得．

本题考点：直线和圆的方程的应用；等差数列的性质．

考点点评：本题在考查等差数列的通项公式中渗透了直线与圆的位置关系和数域的应用．