题目
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,且b≠0,函数g(x)=
bx3−bx,若对任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,且b≠0,函数g(x)=
1 |
3 |
提问时间:2021-05-05
答案
(1)f(x)=lnx-ax,
∴x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞)
∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数
当a>0时,∵f'(x)=
−a=
∵f′(x)>0,则1−ax>0,ax<1,x<
f′(x)<0,则1−ax<0,ax>1,x>
即当a>0时f(x)在(0,
)上是增函数,在(
,+∞)上是减函数.
(2)设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,
则由已知,对于任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),
使f(x1)=g(x2),得A⊆B
由(1)知a=1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴f(x)在x∈(1,2)上单调递减,
∴f(x)的值域为A=(ln2-2,-1)
∵g'(x)=bx2-b=b(x-1)(x+1)
∴(i)当b<0时,g(x)在(1,2)上是减函数,
此时,g(x)的值域为B=(
b,−
b)
为满足A⊆B,又−
b≥0>−1
∴
b≤ln2−2.即b≤
ln2−3.
(ii)当b>0时,g(x)在(1,2)上是单调递增函数,
此时,g(x)的值域为B=(−
b,
b)
为满足A⊆B,又
b≥0>−1.
∴−
b≤ln2−2
∴b≥−
(ln2−2)=3−
ln2,
综上可知b的取值范围是(−∞,
ln2−3]∪[3−
ln2,+∞)
∴x>0,即函数f(x)的定义域为(0,+∞)
∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数
当a>0时,∵f'(x)=
1 |
x |
1−ax |
x |
∵f′(x)>0,则1−ax>0,ax<1,x<
1 |
a |
1 |
a |
即当a>0时f(x)在(0,
1 |
a |
1 |
a |
(2)设f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,
则由已知,对于任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),
使f(x1)=g(x2),得A⊆B
由(1)知a=1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴f(x)在x∈(1,2)上单调递减,
∴f(x)的值域为A=(ln2-2,-1)
∵g'(x)=bx2-b=b(x-1)(x+1)
∴(i)当b<0时,g(x)在(1,2)上是减函数,
此时,g(x)的值域为B=(
2 |
3 |
2 |
3 |
为满足A⊆B,又−
2 |
3 |
∴
2 |
3 |
3 |
2 |
(ii)当b>0时,g(x)在(1,2)上是单调递增函数,
此时,g(x)的值域为B=(−
2 |
3 |
2 |
3 |
为满足A⊆B,又
2 |
3 |
∴−
2 |
3 |
∴b≥−
3 |
2 |
3 |
2 |
综上可知b的取值范围是(−∞,
3 |
2 |
3 |
2 |
(1)先确定函数f(x)的定义域,然后对函数f(x)求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间.
(2)分别表示出函数f(x)、g(x)的值域,根据f(x)的值域应为g(x)的值域的子集可得答案.
(2)分别表示出函数f(x)、g(x)的值域,根据f(x)的值域应为g(x)的值域的子集可得答案.
利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
- 1照样子写成语 杭------航 木已成舟 涔--今( ) 记--认( )
- 2[函数]点p是一个反比例函数与正比例函数y=-2x的图像,pq垂直于x轴垂足为q的坐标为(2,0)
- 3地球表面的主要地形地貌有哪些?
- 4用显微镜观察草履虫的试验中,用滴管从培养液的()层吸一滴培养液.如果草履虫运动过快可采取的措施是().草履虫细胞由()、()、()三部分构成;细菌、单细胞藻类等食物由()进入草履虫体内,形成()逐渐被
- 5若|x-2|+|y-3|=0,则x+y的值为( ) A.-1 B.1 C.5 D.0
- 6文章一般分为( ) 段、( )段、( )段
- 7写出小学数学上课本的所有知识【包括定义 公式 结论 等】
- 8找规律填数:1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,( )
- 9溶剂里是否含水咋检验?
- 10同意句改写
热门考点
- 1用英语介绍德国的文化,音乐,还要有汉语翻译
- 2100减19的竖式怎么写
- 3差动放大电路能够抑制温度漂移的本质是什么?
- 4happiness is near and far ,where i can go ,turn left or right ,could you take me to go with you
- 5蛙声十里出山泉的解释?
- 6在交作业前确保你的作业没有错误 英语翻译
- 7碳酸钙和二氧化碳反应 在反应的方程式
- 8梯形ABCD中,AB//CD,AB=2,DC=10,AD=BC=5,点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN//AB,ME垂直于DC,NF垂直于DC,NF垂直于DC,垂直于分别为E,F
- 9为什么圆柱形的容器和上小下大的容器(他们装满水后重力相等)同时放在水平桌子,圆柱体对桌子的压力就等
- 106+2(x-3)=x解下列方程