题目
当自然数n≥5时,求证2^n＞n^2
提问时间：2021-05-05
答案
第一步 n=5时 2^5=32>5^2=25 命题成立
第二步 假设n=k 命题2^k>k^2成立
第三步 当n=k+1时,2^(k+1)-(k+1)^2=2*2^k-(k^2+2k+1)
k>5,所以k^2-2k-1=(k-1)^2-2>0,所以 2^k>k^2>2k
那么2^k-k^2+2^k-(2k+1)>0,即2^(k+1)-(k+1)^2>0
所以,n=k+1时命题成立
综上,n>=5,有2^n>n^2
第二步 假设n=k 命题2^k>k^2成立
第三步 当n=k+1时,2^(k+1)-(k+1)^2=2*2^k-(k^2+2k+1)
k>5,所以k^2-2k-1=(k-1)^2-2>0,所以 2^k>k^2>2k
那么2^k-k^2+2^k-(2k+1)>0,即2^(k+1)-(k+1)^2>0
所以,n=k+1时命题成立
综上,n>=5,有2^n>n^2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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