题目

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求实数a的值．

提问时间：2021-05-04

答案

（1）f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）
=a（x-2）（x-2+2x）=a（x-2）（3x-2）
∵a＞0，
∴当x≤

2

3

或x≥2时，f′（x）≥0，
则f（x）在区间（-∞，

2

3

]，[2，+∞）上单调递增；
当

2

3

≤x≤2时，f′（x）≤0，
则f（x）在区间[

2

3

，2]上单调递减．
即函数f（x）的单调增区间为（-∞，

2

3

]，[2，+∞），单调减区间为[

2

3

，2]．
（2）f_极大值（x）=f（

2

3

）=a

2

3

（

2

3

-2）²=32，
解得a=27．

先求导，利用导数求函数的单调性及极大值．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了利用导数求函数的单调性与极值的方法，是基础题．