题目

组合数学和近世代数的几个题
1,构造一个9元域,写出加法表和乘法表其中非元的逆元和阶
2,n个男士和n个女士排成一行,要求男女相间 问有多少种不同排法 （个人认为是 2* ^2 ）
3,那个人围成圆圈,不同的坐法数?若两人不愿坐在一起有多少种做法?三人总坐在一起
4,书架上有24本编号连续的书（1-24） 现从中取出5本,使没有两书是连续的,共有多少种取法?
5,证 1+2+2^2+2^3+.2^m=2^(m+1)-1
对第二题有异议，假如先拍男士，排法，产生n+1空位没问题 但用女来添n+1空位？女只有n个 怎么填n+1空位呢？我的想法是 男n!女n!各自无关联 两者一组合 就是n!^2 但既可以男在前，亦可以女在前 就有两种情况 故为2*n!^2
3题确实漏了n

提问时间：2021-05-04

答案

最近在看组合数学,不过这些都很简单,都是高中学过的
1
忘了
2
n!(n+1)!先排列男士（男女谁先,等价）,n的全排列,再用女士来插刚产生的n+1个空位,（n+1)!/1!=(n+1)!
3
你是说n个人吧,打漏了个n（默认圆圈有方向,若不是,再将答案除以n）
答案分别是
n!
全排列
(n-1)!(n-3)
先让其中一个人和其余n-2个人排列,然后再将那个人和旁边的人捆绑,形成了n-3个空位,再让剩下的那个人来插空位,哪个先来排列是等价的,结果不再乘以2
(n!/3!)(n-2)!
先从n个人中选出3个人来排列,再用捆绑法,把他们视为一个人,和剩下的n-3个人做全排列,即(n-2)!
4
20!/(15!*5!)
相当于把5本书插进19+1个空位中,不用再排列,因为书是有序的,插完后,由于书的有序性,即形成新的排列,而5本书都找到了满足题意的位置
5
等比数列求和
a0=1,q=2,n=m+1
Sn=a0(1-q^n)/(1-q)=2^(m+1)-1
证毕,就这么简单
如果要详细点的
你可以加入
等比数列的公式推导过程以及等比数列求和公式的推导过程
不过,一般来说,都不用写的,除非是对于初学者
PS:
这个第二题
n!^2 的话
是先排男（假设是男）再排女,女全排在男的后面或前面,即与男的排列顺序无关（即与顺序无关,只与男排列的该事件的发生有关,才用相乘,假若与男排列事件发生无关,就只用相加了）,而题目要求必须与男的排列顺序有关,是混在一起排的
之所以是
用女来添n+1空位
得到（n+1)!/1!=(n+1)!
那是指在男排列后会产生n+1个空位
再在n+1个空位中选出n个空位供给女的插
然后再让女的在这n个空位上来排列
之所以是n+1个空位
你可以假设只有一个男的
那么他的一前一后都可以插一个女的
这不是就产生了1+1个空位了吗
其余的可用数学归纳法的之也成立
所以n个男的排列后会产生n+1个空位