题目

偏导数的应用的几个题
1.求内接于半径为R的球体且体积最大的圆柱体的高.
2.求内接于椭圆x*x/a*a+y*y/b*b=1且面积最大的矩形的各边长度.、

提问时间：2021-05-04

答案

球的方程是 x²+y²+z²=R²
球体内接圆柱在第一象限内是一个半径为 x,高度为 z 的四分之一圆柱,其体积为 ¼ πx²z,球体内接圆柱的体积为其八倍,即 V=2πx²z
令 F(x,y,z) = 2πx²z - λ(x²+y²+z²-R²),
F'x = 4πxz - 2λx =0
F'y = -2λy =0
F'z = 2πx² - 2λz =0
得 x=√2λ / 2π,y=0,z=λ / 2π
代入 x²+y²+z²=R²,得 λ= 2πR/√3
x=√(2/3) R,y=0,z=√3 R / 3
因此点（√(2/3) R,0,√3 R / 3）为唯一驻点,由题意可知此圆柱体有最大体积
V max = 2πx²z = 2π (2/3) R² √3 R / 3 = 4√3 πR³ / 9
此体积最大的圆柱体的高是 2z = 2√3 R / 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
椭圆方程是 x²/a² + y²/b² = 1,(x,y) 是其内接矩形在第一象限内的一个顶点,其长宽分别为 2x,2y,其面积 S=4xy
令 F(x,y) = 4xy - λ(x²/a² + y²/b² - 1),
F'x = 4y - 2λx/a² = 0
F'y = 4x - 2λy/b² = 0
得 λ=2ab,bx=ay
代入 x²/a² + y²/b² = 1,得x=a/√2,y=b/√2
因此点(a/√2,b/√2)为唯一驻点,由题意可知此矩形有最大面积 S max=4xy=4a/√2 * b/√2=2ab
此面积最大的矩形各边长度为 √2 a 和 √2 b