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题目
如图,A、D、B三点在同一直线上,△ADC、△BDO为等腰直角三角形,连接AO、BC.

(1)AO、BC的大小位置关系如何?说出你的看法,并证明你的结论.
(2)当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到如图②,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

提问时间:2021-05-04

答案
(1)AO=BC,AO⊥BC,
证明:∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形,
∴∠ADO=∠CDB=90°,AD=DC,DO=BD,
∵在△ADO和△CDB中,
AD=DC
∠ADO=∠CDB
DO=DB

∴△ADO≌△CDB(SAS),
∴AO=BC,∠OAD=∠DCB,
∵∠COE=∠AOD,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠DCB+∠COE=90°,
∴∠CEO=90°,
∴AO⊥BC;
(2)AO=BC仍成立,
理由是:∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形,
∴AD=DC,DO=BD,∠ADC=∠BDO=90°,
∴∠ADC+∠CDO=∠BDO+∠CDO,
∴∠ADO=∠CDB,
∵在△ADO和△CDB中,
AD=DC
∠ADO=∠CDB
DO=DB

∴△ADO≌△CDB(SAS),
∴AO=BC.
(1)根据等腰直角三角形性质得出∠ADO=∠CDB=90°,AD=DC,DO=BD,根据SAS推出△ADO≌△CDB即可;
(2)根据等腰直角三角形性质得出∠ADC=∠BDO=90°,AD=DC,DO=BD,求出∠ADO=∠CDB根据SAS推出△ADO≌△CDB即可;

全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定,解此题的关键是根据SAS得到△ADO≌△CDB.

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