已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．（1）求证：△ADF∽△BDE；（2）求证：△DEF∽△ABC． - 超级试练试题库

题目

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．

（1）求证：△ADF∽△BDE；
（2）求证：△DEF∽△ABC．

提问时间：2021-05-02

答案

证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AF=EP，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽Rt△BDA，
∴

，
∴

，即

，
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDE；
（2）∵△ADF∽△BDE，
∴∠ADF=∠BDE，

，即

而∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DBA，
∴∠DEF=∠B，
∴Rt△DEF∽Rt△ABC．

（1）由∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC可得到四边形AEPF为矩形，则AF=EP，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△BEP∽Rt△BDA，得到

，则

，利用比例性质变形得

，根据等角的余角相等得∠DAF=∠B，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ADF∽△BDE；
（2）由△ADF∽△BDE得到∠ADF=∠BDE，

，变形得

，再由∠BDF+∠ADE=90°得到∠DEF=90°，于是可证明△DEF∽△DBA，所以∠DEF=∠B，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到Rt△DEF∽Rt△ABC．

本题考点：相似三角形的判定．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．

举一反三

我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好

奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?

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1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.

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