题目

已知曲线y=x² （x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x²+（y+1）²=1相切，则点P的坐标为 ___ ．

提问时间：2021-05-02

答案

设P（x₀，y₀），由题意知曲线y=x²在P点的切线斜率为k=2x₀，
切线方程为2x₀x-y-x₀²=0，而此直线与圆C：x²+（y+1）²=1相切，
∴d=

|1- x 2 0 |

4 x 2 0 +1

=1．解得x₀=±

6

（负值舍去），y₀=6．
∴P点的坐标为（

6

，6）．
故答案为：（

6

，6）．

先设P（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简，根据此直线与圆C：x²+（y+1）²=1相切，转化成圆心到直线的距离等于半径，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与圆相切的条件，属于基础题．