题目

为什么圆内四边形可以用海伦定理,为什么别的四边形不可以,具体解释吧

提问时间：2021-04-30

答案

设四边形ABCD的四边分别为a,b,c,d,对角线BD为e,在三角形ABD和BCD中分别使用海伦定理可得S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD=√[p1(p1-a)(p1-d)(p1-e)] +√[p2(p2-b)(p2-c)(p2-e)](其中p1,p2分别是三角形ABD和BCD的半周长),同时在这两个三角形中使用余弦定理可得cos∠A=a^2+d^2-e^2/2ad,cos∠C=b^2+c^2-e^2/2bc.因为这个四边形是圆内接四边形,则有∠A+∠C=180度(圆内接四边形两对角互补),则cos∠A=-cos∠C,即a^2+d^2-e^2/2ad=-(b^2+c^2-e^2/2bc),由此解得e=√[(b^2+c^2)ad+(a^2+d^2)bc]/(ad+bc).(注意这个就是这个问题的原因所在,如果不是圆内接四边形则∠A+∠C≠180度,也就没有上面那些等式的成立.)最后将e的等式代入到前面的S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD这个公式中消去e,再通过变形化简最终可得出圆内四边形海伦公式.只是这个变形化简的过程非常繁琐和复杂,在这里就不多说了,不过你可以取一些特殊的圆内接四边形（例如矩形）,或者将a,b,c,d赋值（注意要保证赋的值要能构成圆内接四边形）进行验证,两者应该是相等的.