题目

求和：
a的n次方加a的n-1次方乘b加a的n-2次方乘b的2次方加……加b的n次方等于a的n+1次方减去b的n+1次方除以a-b
最好用错位相减法做这道题

提问时间：2021-04-29

答案

求证a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)*b^2+...+b^n=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)*b^2+...+b^n
是首项为a^n 公比为b/a的等比数列
所以
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)*b^2+...+b^n
=a^n[1-(b/a)^(n+1)]/(1-b/a)
=[a^n-b^(n+1)/a]/(1-b/a)
=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)