题目

设a,b,c,∈R+,且a+b＞c,试比较a/1+a + b/1+b与c/1+c的大小.

提问时间：2021-04-27

答案

引入函数f（x）＝x/（1＋x）,其中x是正数.
则：f（x）＝（1＋x－1）/（1＋x）＝1－1/（1＋x）.
∴当x增大时,f（x）增大,∴f（x）是增函数.
∴当a＋b＞c＞0时,有：f（a＋b）＞f（c）,∴（a＋b）/（1＋a＋b）＞c/（1＋c）.······①
下面证明：a/（1＋a）＋b/（1＋b）＞（a＋b）/（1＋a＋b）.
利用反证法,设a/（1＋a）＋b/（1＋b）≦（a＋b）/（1＋a＋b）,则：
［a（1＋b）＋b（1＋a）］/［（1＋a）（1＋b）］≦（a＋b）/（1＋a＋b）,
∴［（a＋b）＋2ab］/［1＋ab＋（a＋b）］≦（a＋b）/［1＋（a＋b）］,
∴［（a＋b）＋2ab］［1＋（a＋b）］≦（a＋b）｛［1＋（a＋b）］＋ab｝,
∴（a＋b）［1＋（a＋b）］＋2ab［1＋（a＋b）］
　≦（a＋b）［1＋（a＋b）］＋（a＋b）ab,
∴2ab［1＋（a＋b）］≦（a＋b）ab,
∴2［1＋（a＋b）］≦a＋b,
∴2＋（a＋b）≦0.
这在a、b都是正数时,自然是错误的.
∴a/（1＋a）＋b/（1＋b）≦（a＋b）/（1＋a＋b）是错误的.
于是有：a/（1＋a）＋b/（1＋b）＞（a＋b）/（1＋a＋b）.······②
由①、②,得：a/（1＋a）＋b/（1＋b）＞c/（1＋c）.