题目

已知抛物线y^2=4x上动点P,定点A(m,0),以PA为直径的圆恒与y轴相切,
抛物线上另一动点Q到其准线距离为d1,到直线mx-2y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为

提问时间：2021-04-27

答案

设P(t^2,2t)
因为 定点A(m,0),以PA为直径的圆恒与y轴相切
所以 (t^2-m)^2+4t^2=4·[(t^2+m)/2]^2
即t^2(m-1)=0
因为对任意t 上式恒成立
所以m=1
直线mx-2y+9=0 为 x-2y+9=0
设抛物线焦点为F(1,0)
则d1=|QF|
关于一个动点P到直线x-2y+9=0和到顶点F(1,0)的距离和的最小值的问题,则点F到直线x-2y+9=0的距离2√5为所求的最小值.(由几何图形分析可得)