题目

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．

提问时间：2021-04-25

答案

沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，

原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA^′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα＝

PA2+PB2−AB2

2PA•PB

＝

82+82−42

2×8×8

=

7

8

．
∠APA^′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα=4×(

7

8

)3−3×

7

8

=

7

128

．
在△APA^′中，由余弦定理得：
AA^′2=PA²+PA^′2-2PA•PA^′cos3α
=82+82−2×8×8×

7

128

=121．
所以，AA^′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．

根据给出的正三棱锥的侧棱长和底面边长知，两条侧棱的夹角为锐角，然后求出该锐角的三倍角的余弦值，使原图形中的
△AEF的周长最小，就是求沿PA剪开再展开后A点与A^′点的最短距离，即直线距离，运用余弦定理可求解．

本题考点：棱锥的结构特征．

考点点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了距离最短问题，该类问题通常比喻“蚂蚁爬行问题”，解答的方法是沿一定的棱或母线把多面体或旋转体剪开，然后再展开，求两点间的直线距离问题，是中档题．