题目
在实数集R上定义运算:x⊗y=x(a-y)(a∈R,a为常数),若f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f(x)⊗g(x),
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
提问时间:2021-04-22
答案
(I)由定义运算:x⊗y=x(a-y),得
F(x)=f(x)⊗g(x)
=f(x)⊗(a-g(x))
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex;
(II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),
又当x∈R时,F(x)在减函数,∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立,
即-ex(2x2+4x-a)≤0恒成立,
∵-ex<0,∴2x2+4x-a≥0恒成立,
∴△=16-8(-a)≤0,
∴a≤-2;
(III)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵F′(x)=-ex(2x2+4x+3)
=-ex[2(x+1)2+1]<0,
∴F′(x1)•F′(x2)>0,
∴F′(x1)•F′(x2)=-1 不成立.
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
F(x)=f(x)⊗g(x)
=f(x)⊗(a-g(x))
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex;
(II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),
又当x∈R时,F(x)在减函数,∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立,
即-ex(2x2+4x-a)≤0恒成立,
∵-ex<0,∴2x2+4x-a≥0恒成立,
∴△=16-8(-a)≤0,
∴a≤-2;
(III)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵F′(x)=-ex(2x2+4x+3)
=-ex[2(x+1)2+1]<0,
∴F′(x1)•F′(x2)>0,
∴F′(x1)•F′(x2)=-1 不成立.
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
(Ⅰ)直接由定义运算,把f(x),g(x)的解析式代入F(x)=f(x)⊗g(x)整理得答案;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的F(x)求导,由导函数在R上小于等于0恒成立转化为二次不等式恒成立问题,由判别式的符号得不等式求解a的取值范围;
(Ⅲ)把a=-3代入函数解析式,求出函数导函数,由求得的导函数恒小于0说明F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
(Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的F(x)求导,由导函数在R上小于等于0恒成立转化为二次不等式恒成立问题,由判别式的符号得不等式求解a的取值范围;
(Ⅲ)把a=-3代入函数解析式,求出函数导函数,由求得的导函数恒小于0说明F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
本题是新定义题,考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了数学转化思想方法,训练了利用“三个二次”结合解决恒成立问题,属中高档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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