题目

已知函数f(x)=ax-b/x-3lnx在x=1/2与x=1处都取得极值,若对x∈[1/2,4],f(x)>c恒成立,求c的取值范围

提问时间：2021-04-21

答案

f(x)定义域x>0
求导f'(x)=a+b/x^2-3/x=(ax^2-3x+b)/x^2
根据题意f'(1)=a+b-3=0
f'(1/2)=4(a/4-3/2+b)=a-6+4b=0
解得a=2,b=1
则f(x)=2x-1/x-3lnx
f(x)>c
f(x)-c>0
令g(x)=f(x)-c=2x-1/x-3lnx-c
所以要想题目成立,只需g(x)大于0即可
g'(x)=(2x^2-3x+1)/x^2=(2x-1)(x-1)/x^2
令p(x)=(2x-1)(x-1)
根据p(x)不难看出,g(x)在（0,1/2）,(1,正无穷)上递增,在[1/2,1]上递减
当x属于[1/2,4]时
最小值g(1)=1-c
1-c>0
c