题目

设定点M（3，

10

3

）与抛物线y²=2x上的点P的距离为d₁，P到抛物线准线l的距离为d₂，则d₁+d₂取最小值时，P点的坐标为（　　）
A. （0，0）
B. （1，

2

）
C. （2，2）
D. （

1

8

，−

1

2

）

提问时间：2021-04-20

答案

∵（3，

6

）在抛物线y²=2x上且

10

3

> 

6

∴M（3，

10

3

）在抛物线y²=2x的外部
∵抛物线y²=2x的焦点F（

1

2

，0），准线方程为x=-

1

2

∴在抛物线y²=2x上任取点P过p作PN⊥直线x=

1

2

则PN=d_2，
∴根据抛物线的定义可得d₂=PF
∴d₁+d₂=PM+PF
∵PM+PF≥MF
∴当P，M，F三点共线时d₁+d₂取最小值
此时MF所在的直线方程为y-

10

3

=

4

3

（x-3）即4x-3y-2=0
令

4x-3y-2=0 y2=2x

则

x=2 y=2

即当点的坐标为（2，2）时d₁+d₂取最小值
故选C

先判断出M（3，

10

3

）在抛物线y²=2x的外部然后做出图形（如下图）则PM=d₁过p作PN⊥直线x=

1

2

则PN=d₂，根据抛物线的定义可得d₁+d₂=PM+PF故要使d₁+d₂取最小值则只有当P，M，F三点共线时成立因此可求出MF所在的直线方程然后与抛物线的方程联立即可求出P点的坐标．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题主要考察抛物线的性质，属常考题，较难．解题的关键是将d₁+d₂=PM+PN根据抛物线的定义转化为d₁+d₂=PM+PF！