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题目
如图,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.

提问时间:2021-04-20

答案
HE=HF.
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形,
∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°,
又∵AG⊥BC,
∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,
∴△ABG∽△EAP,
∴AG:EP=AB:EA.
同理△ACG∽△FAQ,
∴AG:FQ=AC:FA.
∵AB=k•AE,AC=k•AF,
∴AB:EA=AC:FA=k,
∴AG:EP=AG:FQ.
∴EP=FQ.
在Rt△EPH和Rt△FQH中,
∠EPH=∠FQA
∠EHP=∠FHQ
EP=FQ

∴Rt△EPH≌Rt△FQH(AAS).
∴HE=HF.
过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.根据三角形相似和全等三角形的判定和性质即可解题.

相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

本题考查了三角形相似的判定以及性质的综合应用,兼顾了全等三角形的证明以及全等三角形对应边相等的性质,本题中求证三角形相似是解题的关键.

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