题目

若直线ax+by-3=0和圆x²+y²+4x-1=0切于点P（-1，2），则ab的值为（　　）
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3

提问时间：2021-04-19

答案

把圆的方程化为标准方程得：（x+2）²+y²=5，
所以圆心坐标为（-2，0），半径r=

5

，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|−2a−3|

a2+b2

=r=

5

，
化简得：a²+5b²-12a-9=0①，
把切点P的坐标代入直线方程得：-a+2b-3=0②，
联立①②，解得：a=1，b=2，
则ab的值为2．
故选C

把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值．

本题考点：直线与圆的位置关系；基本不等式．

考点点评：此题要求学生掌握直线与圆相切时满足的条件即圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．学生应理解切点为直线与圆的唯一的公共点，所以切点满足已知的直线方程．