题目

a＞0，b＞0且a+b＝1，则(

1

a2

−1)(

1

b2

−1)的最小值（　　）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

提问时间：2021-04-19

答案

根据基本不等式a+b=1≥2

ab

，可得到ab≤

1

4

即

1

ab

≥ 4
化简不等式(

1

a2

−1)(

1

b2

−1)＝

1

a2b2

−(

1

a2

+

1

b2

)+1=

2

ab

+1≥9
故最小值为9．
故选D．

首先分析题目，由等式a+b=1求不等式(

1

a2

−1)(

1

b2

−1)的最小值，考虑到可以应用基本不等式故a+b=1≥2

ab

，可得到

1

ab

≥ 4，然后化简不等式(

1

a2

−1)(

1

b2

−1)，把

1

ab

≥ 4代入即可得到最小值．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：此题主要考查由基本不等式求最小值的问题，在高考中属于重点考点，题目有一定的灵活性，属于中档题目．