题目
如图,在等边△ABC中,E在BC的延长线上,CF平分∠ACE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求∠APQ是多少度.
提问时间:2021-04-18
答案
在CF上截取CQ′=BP,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACE=120°,
∵CF平分∠ACE,
∴∠ACQ=60°=∠B,
在△ABP与△ACQ′中,
∴△ABP≌△ACQ′(SAS),
∴AP=AQ′,∠BAP=∠CAQ′,
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°,
∴△PAQ′是等边三角形,
∴AP=PQ′,∠APQ′=60°
∵AP=PQ,
∴PQ=PQ′,
∴Q′和Q是同一点,
∴∠APQ=60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∴∠ACE=120°,
∵CF平分∠ACE,
∴∠ACQ=60°=∠B,
在△ABP与△ACQ′中,
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∴△ABP≌△ACQ′(SAS),
∴AP=AQ′,∠BAP=∠CAQ′,
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°,
∴△PAQ′是等边三角形,
∴AP=PQ′,∠APQ′=60°
∵AP=PQ,
∴PQ=PQ′,
∴Q′和Q是同一点,
∴∠APQ=60°.
在CF上截取CQ′=BP,根据等边三角形的性质,得出AB=AC=BC,∠B=∠ACB=60°,然后根据SAS求得△ABP≌△ACQ′,得出△PAQ′是等边三角形,从而证得Q′和Q是同一点,即可求得∠APQ=60°.
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
本题考查了等边三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,证得Q′和Q是同一点,是本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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