题目
已知直线y=-2x-
与曲线f(x)=
x3-bx相切.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2,求m的取值范围.
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(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2,求m的取值范围.
提问时间:2021-04-18
答案
(I)∵f(x)=
x3-bx,∴f'(x)=x2-b,
设切点为(x0,y0),依题意得∴
解得:b=3
(II)设h(x)=f(x)-x2-m=
x3-x2-3x-m
h′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),
令h′(x)=0,得x=-1或x=3
在(0,3)上,h′(x)<0,故h(x)在(0,3)上单调递减,
在(3,+∞)上,h′(x)>0,故h(x)在(3,+∞)上是单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
∴-9<m<0.
此时存在x>3时,h(x)>0,
例如x=5时,h=
-25=15-m=
-m>0.
∴所求m的范围是-9<m<0.
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设切点为(x0,y0),依题意得∴
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解得:b=3
(II)设h(x)=f(x)-x2-m=
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h′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),
令h′(x)=0,得x=-1或x=3
在(0,3)上,h′(x)<0,故h(x)在(0,3)上单调递减,
在(3,+∞)上,h′(x)>0,故h(x)在(3,+∞)上是单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
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此时存在x>3时,h(x)>0,
例如x=5时,h=
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∴所求m的范围是-9<m<0.
(I)先求出导函数f'(x),设出切点(x0,y0),然后根据在x=x0的导数等于切线的斜率,切点在切线和函数f(x)的图象上,建立方程组,解之即可求出b的值;
(II)构造函数h(x)=f(x)-x2-m=
x3-x2-3x-m,利用导数研究函数h(x)的单调性,转化成使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,建立关系式,解之即可求出m的范围.
(II)构造函数h(x)=f(x)-x2-m=
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利用导数研究曲线上某点切线方程;函数与方程的综合运用.
本题主要考查了利用导数研究曲线
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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