题目

∫∫∫zdxdydz,其中d由不等式z=6-x^2-y^2及z^2=x^2+y^2所围成的闭区域;

提问时间：2021-04-17

答案

z=6-x²-y²与z²=x²+y²的交线为：z=2或z=-3（舍）
在xoy面的投影区域为：x²+y²≤4
用柱坐标,z²=x²+y²可写为：z=√(x²+y²)=r,z=6-x²-y²可写为：z=6-r²
∫∫∫zdxdydz
=∫∫∫ zr dzdrdθ
=∫[0--->2π]dθ∫[0--->2] r dr∫[r--->6-r²] z dz
=2π∫[0--->2] r dr∫[r--->6-r²] z dz
=π∫[0--->2] rz² |[r--->6-r²] dr
=π∫[0--->2] r[(6-r²)²-r²] dr
=π∫[0--->2] (36r-13r³+r⁵) dr
=π(18r²-13r⁴/4+r⁶/6) |[0--->2]
=92π/3