题目

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)＝

an，n为奇数 bn，n为偶数

问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

提问时间：2021-04-17

答案

解（I）由题意知P1（-1，0）∴a1=-1，b1=0∴an=a1+（n-1）•1=-1+n-1=n-2∴bn=2an+2=2（n-2）+2=2n-2…6（Ⅱ）若k为奇数，则f（k）=ak=k-2f（k+5）=bk+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5无解若k为偶数，则f（k）=2k-2，f（k+5...

（I）令直线中d的y=0等于0求出P₁的坐标即得到数列{a_n}，{b_n}的首项，利用等差数列的通项公式求出a_n，将直线中的x用a_n
代替求出y的值即}，{b_n}的通项公式．
（2）对k分奇数、偶数讨论得到f（k）的值，列出方程求出k的值．

本题考点：等差数列的通项公式；分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的函数特性．

考点点评：解决等差数列、等比数列两个特殊的数列问题，一般利用两个特殊数列的通项公式、前n项和公式列方程组求出基本量再解决．