题目

设m、n为正整数,且m≠2,如果对一切实数t,二次函数y＝x2（是x的平方）+（3-mt）x-3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小于2t+n的绝对值,求m、n的值
我想问问，为什么△=(6m-4n)^2-4(m^2-4)(9-n^2)≤0 按照道理来说，平方都是要大于等于0啊？

提问时间：2021-04-16

答案

x1+x2=mt-3,x1x2=-3mt
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(mt-3)^2+12mt
=m^2t^2-6mt+9+12mt
=(mt+3)^2
两个交点间的距离不小于2t+n的绝对值
(x1-x2)^2≥(2t+n)^2
所以,(mt+3)^2≥(2t+n)^2
(mt+3)^2-(2t+n)^2≥0
(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+(9-n^2)≥0
m=2时,
（12-4n)t+(9-n^2)=(3-n)(4t+3+n)≥0对一切实数t并成立
m>2时,
△=(6m-4n)^2-4(m^2-4)(9-n^2)
=(36m^2-48mn+16n^2)-(36m^2-144-4m^2n^2+16n^2)
=4m^2n^2-48mn+144
=(2mn-12)^2
≤0
2mn=12
mn=6
因为m,n是正整数
所以,
m=1,n=6,或,
m=2,n=3,或
m=3,n=2,或
m=6,n=1