题目

设关于x的一元二次方程AnX^2-AmX+1=0(n属于N+)
有两根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3
(1)试用An表示An+1
(2)求证:{An-2/3}是等比数列
(3)当a1=7/6时,求{An}的通项公式

提问时间：2021-04-15

答案

方程是anx^2-a(n+1)x+1=0吧．
用　b,c表示方程的二个根．
6b-2bc+6c=3
6(b+c)-2bc=3
由韦达定理知
b+c=a(n+1)/an
bc=1/an
代入上面的式子得
6(a(n+1)/an)-2/an=3
[6(an+1)-2]/an=3
6(an+1)-2=3an
6(an+1)=3an+2
a(n+1)=(3an+2)/6
(2):
a(n+1)=(1/2)an+(1/3)
a(n+1)-2/3=(1/2)an+(1/3)-2/3
=(1/2)an-1/3
=(1/2)[an-2/3]
所以,[a(n+1)-2/3]/[an-2/3]=1/2
即{an-2/3}是等比数列.
(3)a1=7/6,那么{an-2/3}的首项是:a1-2/3=1/2
那么an-2/3=(1/2)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
即an=(1/2)^n+2/3