题目

如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O．
求证：（1）HB=CF；（2）HB⊥CF．

提问时间：2021-04-12

答案

（1）∵AF⊥AB，AH⊥AC，
∴∠HAC=∠BAF=90°，
∴∠HAC+∠BAC=∠BAF+∠BAC，
即∠BAH=∠CAF．
在△HAB和△CAF中，

AB＝AF ∠BAH＝∠CAF AH＝AC

∴△HAB≌△CAF（SAS），
∴HB=CF，∠B=∠F．
（2）在△AFD和△BOD中，
∠B=∠F，∠ODB=∠ADF，
∴∠DOB=∠FAD，即HB⊥CF．

根据已知条件，结合三角形全等的条件可得出△HAB≌△CAF，得到边相等，角相等．再求证HB⊥CF．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；题目较复杂，信息量较大，在解答时要注意仔细读题找出两三角形全等的条件即可解答．