题目

已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆的半径为R，

（1）当△ABC为锐角三角形时，求证：AB•AC=2AD•R；
（2）若△ABC为钝角三角形（∠C为钝角），（1）的结论还成立吗？请画图证明你的结论．

提问时间：2021-04-12

答案

（1）证明：如图1所示，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵∠B与∠E是AC所对的圆周角，∴∠B=∠E．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴ABAE=ADAC，∵AE是⊙O的直径...

（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，根据相似三角形的判定定理得出△ABD∽△AEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

本题考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．