题目

已知抛物线C：X^2=-Y,点P（1,-1）在抛物线C上,过点P作斜率为K1、K2的两条直线,分别交抛物线C于异于点P的两点A（X1,Y1）,B（X2,Y2）,且满足K1+K2=0.求线段AB中点M的轨迹方程.

提问时间：2021-04-11

答案

把斜率为k的直线方程表示出来,然后联立这个方程和抛物线方程,消去y,获得一个关于x的一元二次方程,这个方程的一个根是1（因为直线与抛物线的一个交点已经是P,方程的一个根就是这个点P的横坐标）
由韦达定理,两根积为那个一元二次方程的c/a,就可以解出x1了,代入直线就可以求出y1,就是点A的坐标.用同样的方法可以求B的坐标,但是,还有简单的方法,就是对刚才求出的点A的坐标里的k换成－k就是点B的坐标了（把刚才求出的点A作一点意义上的点,斜率是k的就是这个坐标,斜率是－k的当然只要代入就可以了）
有了点A和点B的坐标,就可以求出M的坐标了,这个M的坐标解出来,横坐标、纵坐标都是关于k的式子,其实就是这个动点的轨迹的参数方程,消去k,就会获得动点的横坐标和纵坐标的关系,就是动点的轨迹的普通方程了.