题目

如图1所示,一球自A点以速度Vo与水平面成θ角抛出,最后落在B点.球抛出的同时,人从C点向B点跑,匀速率为V1,人与球同时到达B点.已知:BC=Xo,求证:若人与球的连线与水平面所成的角为α,则tanα对人来说随时间t成线性增加,即tanα=kt,k为常数(要求出k的表达式).

提问时间：2021-04-10

答案

如图,以球的起抛点A在地面上的投影点D为原点建立坐标系
设点A距离底面的高度为h0=AD,点D到B的距离为s0=BD
球自点A抛落到点B的时间为t0,
已知人自C点以速度v1跑到B点,与球同时到达,则有
s0=v0cosθ*t0                 (1)
-h0=v0sinθ*t0-1/2*gt0²         (2)
x0=v1*t0                    (3)
由上述三个方程联立,易解得
t0=x0/v1,h0= v0sinθ*(x0/v1)-1/2*g(x0/v1)²,s0=v0cosθ*(x0/v1)
设在任意时间t (0≤t≤t0),球到达抛物线上的A1点
球所经过的横向距离为s,纵向距离为h,人所跑过的距离为x,则有
s=v0cosθ*t                 (4)
h=v0sinθ*t-1/2*gt²         (5)
x=v1*t                    (6)
由几何关系易知,
tanα=A1D1/C1D1=(h0+h)/(BD1+BC1)=(h0+h)/[(s0-s)+(x0-x)]
由上述(1)~(6)个关系式,可求得
h0+h=(t0-t)[1/2*g(t0+t)-v0sinθ]
s0-s=v0cosθ*(t0-t),x0-x= v1*(t0-t)
(s0-s)+(x0-x)=(t0-t)(v0cosθ+v1)
∴tanα= (h0+h)/[(s0-s)+(x0-x)]
=[1/2*g(t0+t)-v0sinθ]/(v0cosθ+v1)
=[1/2*gt0t+(1/2*gt0²-v0sinθ*t0)]/(v0cosθ*t0+v1*t0)     (分子分母同时乘以t0)
=(1/2*gt0t+h0)/(s0+x0)
=(1/2*gt0t)/(s0+x0)+ h0/ (s0+x0)
因为你没有给图,所以不知道起抛点的高度h0是多少
但从你要证的结果来看,应该是平地起抛,即h0=0
当h0=0时,并令(1/2*gt0)/ (s0+x0)=k,则有
tanα=(1/2*gt0t)/(s0+x0)+ h0/ (s0+x0)
=(1/2*gt0t)/(s0+x0)
=kt
即tanα=kt,结论得证
且k=(1/2*gt0)/ (s0+x0)
=[1/2*g*(x0/v1)]/[v0cosθ*(x0/v1)+x0]
=(1/2*g)/(v0cosθ+v1)