题目

给正整数n,求n分为4个小于十的非负整数的方法数S(n).求公式 其中顺序不同算不同的方法.
举例：S(2)=10,因为有0002,0020,0200,2000,0011,0101,0110,1001,1010,1100 十种方法.
原题是小于10000的所有正整数中,各位数相加和是n的一用有几个.
用母函数,要用到P(n,k)

提问时间：2021-04-10

答案

记S(n)的母函数为f(x),显然f(x)=(1+x+x^2+…+x^9)^4.
f(x)=(1-x^10)^4/(1-x)^4
=(1-4x^10+6x^20+4x^30+x^40)*∑{n=0->∞} C(n+3,3)x^n
=∑{n=0->∞} [C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3)]x^n.
即:S(n) = C(n+3,3)-4*C(n-7,3)+6*C(n-17,3)-4*C(n-27,3)+C(n-37,3).
其中C(n,k)表示n选k的组合数,n