题目

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x+2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．

提问时间：2021-04-09

答案

（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x+2=-x²-2x+2．
又∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）=x²+2x-2．
又f（0）=0，∴f（x）=

x2+2x−2，x＜0 0，x＝0 −x2+2x+2，x＞0

（2）先画出y=f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y=f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示．
由图可知，其增区间为[-1，0），（0，1]
减区间为（-∞，-1]，[1，+∞）．

（1）先设x＜0，则可得-x＞0，然后利用f（-x）=-f（x）及x＞0时函数的解析式可求x＜0时的函数f（x），再由f（0）=0，即可求解
（2）先画出y=f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y=f（x）（x＜0）的图象，由图可求单调区间

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查了奇函数图象的对称性的应用及奇函数性质的简单应用，属于基础试题