题目

（2006•安徽）如果△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值分别等于△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值，则（　　）
A. △A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是锐角三角形
B. △A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是钝角三角形
C. △A₁B₁C₁是钝角三角形，△A₂B₂C₂是锐角三角形
D. △A₁B₁C₁是锐角三角形，△A₂B₂C₂是钝角三角形

提问时间：2021-04-09

答案

因为△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值也均大于0，则△A₁B₁C₁是锐角三角形．
若△A₂B₂C₂是锐角三角形，由

sinA2＝cosA1＝sin( π 2 −A1) sinB2＝cosB1＝sin( π 2 −B1) sinC2＝cosC1＝sin( π 2 −C1)

，
得

A2＝ π 2 −A1 B2＝ π 2 −B1 C2＝ π 2 −C1

，
那么，A2+B2+C2＝

π

2

，这与三角形内角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨设A₂=

π

2

，
则sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范围内无值．
所以△A₂B₂C₂是钝角三角形．
故选D．

首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A₁B₁C₁是锐角三角形；
然后假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，则由cosα=sin（

π

2

−α）推导出矛盾；
再假设△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；
最后得出△A₂B₂C₂是钝角三角形的结论．

本题考点：诱导公式的作用．

考点点评：本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想．