题目

设直线l：y= x+1与椭圆x*／a*+y*／b*=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点,...
设直线l：y= x+1与椭圆x*／a*+y*／b*=1（a＞b＞0）相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点F
（1）证明a*+b*＞1
（2）若F是椭圆的一个焦点,且向量AF=2倍向量FB,求椭圆形方程
注：*为平方

提问时间：2021-04-09

答案

（1）联立方程消去x得到：
(a*+b*)x*+2a*x+a*-a*b*=0 有2交点故Δ>0 化简到最后b*(a*+b*-1)>0 由于a>b>0 所以a*+b*-1>0 得证
（2）直线交X轴于F（1,0） F为焦点 则C=1;所以a*=b*+1
联立方程消去y得到(a*+b*)y*-2b*y+b*-a*b*=0 将a*=b*+1带入方程化简得到：
(2b*+1)y*-2b*y-(b*)*=0 (b*)*指b的4次方)
设A(X1,Y1) B(X2,Y2) 由向量AF=2倍向量FB得到 Y1=-2Y2
所以Y1+Y2=-Y2=2b*/(2b*+1) …① Y1乘以Y2=-2(Y2)*=-(b*)*/(2b*+1) …②
将①式平方除以②消去Y2得到b*=7/2 则a*=9/2 所以椭圆方程为：2x*/9+2y*/7=1