题目

已知函数f（x）=log_a（a-a^x）且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．

提问时间：2021-04-09

答案

解析：（1）a-a^x＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定义域为（-∞，1），值域为（-∞，+∞）
（2）设1＞x₂＞x₁
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
则log_a（a-ax2）＜log_a（a-ax1）
即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数
（3）证明：令y=log_a（a-a^x）（x＜1），则a-a^x=a^y，x=log_a（a-a^y）
∴f^-1（x）=log_a（a-a^x）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=log_a（a-a^x）（x＜1）图象关于y=x对称．