题目

△ABC为等腰直角三角形 AB=AC D为斜边BC的中点 E、F为AB、AC边上的点 且DE⊥DF 若BE=12 CF=5 求△DEF的面

提问时间：2021-04-09

答案

因为∠BAC=90°AB=AC D是斜边BC的中点
所以 AD=BD=CD ∠C=∠B=∠CAD=∠BAD=45°
因为DE⊥DF 所以 ∠FDE=90° 即∠FDA+∠ADE=90°
又因为 ∠ADE+∠EDB=90°
所以 ∠FDA=∠EDB（同角的余角相等）
在△DAF和△DBE中
∠FAD=∠B
AD=BD
∠FDA=∠EDB
所以 △DAF≌△DBE （ASA）
从而 FA=EB=12
同理可证 △DAE≌△DCF
从而 AE=CF=5
即AB=AC=12+5=17
S△ABC=17×17÷2=17²/2
S△ABD=(1/2)•S△ABC=17²/4
由于△DBE与△DAE等高
所以S△DBE:S△DAE=BE:AE=12:5
即 S△DBE=S△ABD•[12/(12+5)]=(17²/4)•(12/17)=51
S△DAE=S△ABD•[5/(12+5)]=(17²/4)•(5/17)=85/4
因为△DAE≌△DCF
所以S△DCF=S△DAE=85/4
因为S△EAF=5×12÷2=30
所以S△DEF=S△ABC-S△DBE-S△DCF-S△EAF=17²/2 -51-85/4-30=42.25