题目

是否存在一个实数的等比数列{an}同时满足下列两个条件:
(1)a3和a4是方程x^2-4x+32/9=0的两个根,
(2)至少存在一个自然数m,使(2/3)Am-1,Am^2,(Am+1)+(4/9)依次成等差数列.
若存在求出此数列的通项公式以及m的值,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-04-09

答案

(1)方程x^2-4x+32/9=0的两个根是4/3,8/3.所以a3=4/3,a4=8/3,或者a3=8/3,a4=4/3
(2)存在一个自然数m,使(2/3)am-1,am^2,(am+1)+(4/9)就是说2am^2=(2/3)a(m-1)+a(m+1)+4/9.两端除以am,得到2am=2/(3q)+q+4/(9am) --（1）
有两种情况：若a3=4/3,a4=8/3,那么q=2,代入上式得2am=7/3+4/(9am).此时易知am=2^(m-1)/3,代入得2^m/3=7/3+2^(3-m)/3.即2^m=7+8/2^m.解得2^m=8或-1.所以m=3满足
若a3=8/3,a4=4/3,则q=1/2,代入(1)得2am=11/6+4/(9am)>11/6.可见am>11/12
但是an是递减的,a3就已经小于11/12了.所以m只能是1或2.而a1=32/3和a2=16/3都不满足2am=11/6+4/(9am）,所以m不存在
综上所述,存在m=3满足要求,此时an=2^(n-1)/3