题目

设a、b是关于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的两个不相等的实根（k是非负整数），一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=

n

x

的图象都经过点（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

提问时间：2021-04-09

答案

（1）∵方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的两个不相等的实根，
∴

△=4(k-3)2-4k(k-3)＞0 k≠0

，
解得：k＜3且k≠0，
又∵k为非负整数，
∴k=1，k=2，
又∵y=（k-2）x+m为一次函数，
∴k≠2，故k=1；
（2）当k=1时，方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0即为：x²-4x-2=0，
∵a，b是方程x²-4x-2=0的两个不相等的根，
∴a+b=4，ab=-2．
∵一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=

n

x

的图象都经过点（a，b），
∴点（a，b）满足函数解析式，∴

b=-a+m b= n a

，
解得

m=a+b n=ab

，
∴

m=4 n=-2

，
∴一次函数为：y=-x+4，反比例函数为y=-

2

x

．

（1）根据△＞0求出k的取值范围，再根据k是非负整数进而确定k的值．
（2）a、b是关于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的两个不相等的实根，由韦达定理得出a+b及ab的值，再根据待定系数法求解．

本题考点：反比例函数与一次函数的交点问题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．

考点点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点及根的判别式，难度较大，关键掌握用待定系数法求函数的解析式．