题目

已知点P(-2,-3)和以Q为圆心的圆(x-4)^2+(y-2)^2=r^2(r>0) (1)画出以PQ为直径的圆M,并求出它的方程 (2)圆Q与圆M能否相切?若能,求出相应的r值 (3)若两圆相交于A、B,当丨AB丨最长时,求AB所在的直线方程

提问时间：2021-04-09

答案

(1)作图连接P、Q两点,以线段PQ的中点M为圆心,线段MP的的长度为半径做圆,即为所求圆M
求方程过程：
P坐标（-2,-3）
根据圆Q的方程,Q坐标为（4,2）
则M点坐标为（1,-0.5）
线段PQ长度为[(-2-4)^2+(-3-2)^]^(1/2)=根号61
圆M半径为根号(61/4)
圆M的方程为(x-1)^2+(y+0.5)^2=61/4
(2)
圆Q与圆M不能相切
(3)
圆M与圆Q的方程联立,(x-1)^2+(y+0.5)^2=61/4等号两端分别减去(x-4)^2+(y-2)^2=r^2的等号两端,得6x+5y=34-r^2为此直线方程
因为此直线与圆M相交时,当其经过圆M中点为直径时,|AB|长度能取到最大值,所以将点M(1,-0.5)代入方程,解得r^2=30.5,再代入直线方程,得
6x+5y=34-30.5＝3.5,即6x+5y=3.5为所求直线方程