题目

已知函数f(x)＝

1

a

−

1

x

(a＞0，x＞0)．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

提问时间：2021-04-09

答案

证明：（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2-x1＞0，x1x2＞0，∵f(x2)−f(x1)＝(1a−1x2)−(1a−1x1)=1x1−1x2＝x2−x1x1x2＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单...

（1）利用函数单调性的定义，设x₂＞x₁＞0，再将f（x₁）-f（x₂）作差后化积，证明即可；
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[

1

2

，2]上单调递增，由f（2）=2可求得a的值．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题．