题目

锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

＝

2

R

提问时间：2021-04-09

答案

证明：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O，

OD

AD

＝

S△OBC

S△ABC

，

OE

BE

＝

S△OAC

S△BAC

，

OF

CF

＝

S△OAB

S△CAB

，…5’
则

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

＝1…①…10’
而

OD

AD

＝

R−DM

2R−DM

＝1−

R

2R−DM

＝1−

R

AD

，…15’
同理有，

OE

BE

＝1−

R

BE

， 

OF

CF

＝1−

R

CF

，…20’
代入①得，(1−

R

AD

)+(1−

R

BE

)+(1−

R

CF

)＝1…②
所以 

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

＝

2

R

．                                     …25’