题目

a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.

提问时间：2021-04-09

答案

假设a=2根号3/cosx,b=2根号3tanx,x属于（-π,π）,且x不等于+-π/2,
则a,b满足a^2-b^2=12,
a^2+ab+b^2=12*（1/(（cosx)^2)+tanx/cosx+tanx^2)
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(1+(sinx)^2+sinx）/（cosx）^2=(1+(sinx)^2+sinx）/(1-(sinx)^2)
=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)-1
设k=sinx+2 则k属于（1.3）
(2+sinx)/(1-(sinx)^2)=k/(4k-k^2-3）=1/（4-（k+3/k)大于等于1/（4-2根号3）=1+根号3/2
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)+1大于等于根号3/2
a^2+ab+b^2的最小值是6*根号3