题目
f(x)=(a-2cosx)/3sinx在区间(0,π/2)内是单调增函数,求a的范围
提问时间:2021-04-09
答案
令0 f(x2)-f(x1)=[a*(sinx1-sinx2)-2(cosx2*sinx1-cosx1*sinx2)]/ (3sinx1*sinx2)
=[a(sinx1-sinx2)-2sin(x1-x2)]/(3sinx1*sinx2)>0恒成立
(3sinx1*sinx2)>0
a<2sin(x1-x2)/(sinx1-sinx2)[注:sinx1-sinx2 < 0]
又因为
sinx1-sinx2=sin[(x1+x2)/2+(x1-x2)/2]-sin[(x1+x2)/2-(x1-x2)/2]
=sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
-sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
=2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
sin(x1-x2)=2sin[(x1-x2)/2]cos[(x1-x2)/2]
即
a<2cos[(x1-x2)/2]/cos[(x1+x2)/2]=2cos[(x2-x1)/2]/cos[(x1+x2)/2]
=[a(sinx1-sinx2)-2sin(x1-x2)]/(3sinx1*sinx2)>0恒成立
(3sinx1*sinx2)>0
a<2sin(x1-x2)/(sinx1-sinx2)[注:sinx1-sinx2 < 0]
又因为
sinx1-sinx2=sin[(x1+x2)/2+(x1-x2)/2]-sin[(x1+x2)/2-(x1-x2)/2]
=sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
-sin[(x1+x2)/2]cos[(x1-x2)/2]+cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
=2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
sin(x1-x2)=2sin[(x1-x2)/2]cos[(x1-x2)/2]
即
a<2cos[(x1-x2)/2]/cos[(x1+x2)/2]=2cos[(x2-x1)/2]/cos[(x1+x2)/2]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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