题目

求极限,难难难,急
如何求极限：(x→0)lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3)
1.先取对数.
2.利用洛必达法则,可以得到lim cosx*(1+sinx)/(cosx+sinx)*d((cosx+sinx)/(cosx*(1+sinx)))/dx/(3*x^2)
3.进一步化简为lim (1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*x^2)
4.利用泰勒公试化为 lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2)=lim 3*0.5*x^2/(3*x^2)=0.5
5.所以原式为e^0.5
答案是正确的,关键是以下这步不理解
4.利用泰勒公试化为 lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2)=lim 3*0.5*x^2/(3*x^2)=0.5
另外,能否有更简单的求法,不需用到泰勒公式的方法.

提问时间：2021-04-08

答案

希望下面的解答对你有所帮助.cosx的级数展开式是：cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-(1/6!)x^6+...sinx的级数展开式是:sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-(1/7!)x^7+...当x→0时,取cosx级数展开的前两项(1-(1/2!)x^2)=1-0.5x^2,...