题目

直线y=x+b与曲线x=

1−y2

有且只有一个公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A. b=

2

B. -1＜b≤1或b=-

2

C. -1≤b≤1
D. 以上都不对

提问时间：2021-04-08

答案

由x=

1−y2

，化简得x²+y²=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，
从图上看出其三个极端情况分别是：
①直线在第四象限与曲线相切，②交曲线于（0，-1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．
直线在第四象限与曲线相切时解得b=−

2

，当直线y=x+b经过点（0，1）时，b=1．
当直线y=x+b经过点（0，-1）时，b=-1，所以此时-1＜b≤1．
综上满足只有一个公共点的实数b 的取值范围是：-1＜b≤1或b=−

2

．
故选B．

把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，利用直线与圆的位置关系进行判断．

本题考点：函数的零点．

考点点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．