题目

已知函数f（x）满足f（x）=kx/(2x+3),且f(f(x))=x,求k的值

提问时间：2021-04-08

答案

令f(x)=y,则根据y=kx/(2x+3),得到x=3y/(k-2y).
所以：f(f(x))=x可以变形为f(y)=3y/(k-2y)
再由函数f（x）=kx/(2x+3)得知f(y)=ky/(2y+3)
3y/(k-2y)=ky/(2y+3),(6+2k)y2+(9-k2)y=0,y是任意的y都成立,6+2k=0且9-k2=0,k=-3.
另外,其实,该类题目肯定不会出现在高考等正规考试中.原因是,这类题目完全可以取特殊值直接求解.比如取x=1,f(x)=k/5,
于是根据f(f(x))=x,f(f(1))=1.
根据f（x）=kx/(2x+3),f(f(1))=f(k/5)=k2/(2k+15).
k2/(2k+15)=1.得k=-3或5.
另取一个特殊数字,可以预计得到-3和另一个数,-3两种情况都满足,所以应该取-3.