题目

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．
求证：EF=2DE．

提问时间：2021-04-08

答案

（1）直线l即为所求．                             （1分）
分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
作图正确．                                           （3分）
（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ABC=60°．
又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，（5分）
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，
∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．
又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．                        （8分）
在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，
∴EF=2EC，∴EF=2ED．                                 （10分）