题目

什么是计算定积分的高斯求积公式?

提问时间：2021-04-08

答案

高斯求积公式是变步长数值积分的一种,基本形式是计算[-1,1]上的定积分.下面简单说明一下思想（仅仅是说明,而非证明）：
假设现在要求 f(x)在[-1,1]上的积分值,只允许计算一次 f(x)的值,你会怎么做呢?显然我们会选取一点 x0,计算出 f(x0),然后用 A = f(x0) * 2 作为近似值.现在问题是怎样选取 x0,使得结果尽可能精确呢?直觉告诉我们选取区间中点最合适,这也就是所谓的中点公式,也就是1点高斯求积公式.
如果选取个点作为计算节点,同样可以按公式：A = k1 * f(x1) + k2 * f(x2) + ...+ kn * f(xn) 来计算近似值,关键就是如何确定节点 xi 和系数 ki （i = 1,2,3,...,n)
理论证明对于 n个节点的上述求积公式,最高有 2n - 1 次的代数精度,高斯公式就是使得上述公式具有 2n - 1次代数精度的积分公式.至于如何确定公式中的节点和系数,最常见的是利用勒让德多项式,具体的这里不方便说,你查查相关资料吧.