题目

已知关于x的函数y=cos2x-4asinx-3a（a∈R）的最大值M（a）
（1）求M（a）；
（2）求M（a）的最小值．

提问时间：2021-04-08

答案

（1）函数y=cos2x-4asinx-3a=1-2sin²x-4asinx-3a=-2 （sinx+a）²+2a²-3a+1．
令sinx=t∈[-1，1]，则 函数y=-2（t+a）²+2a²-3a+1．
当-a＜-1 时，即 a＞1 时，则t=-1时，M（a）=-2（-1+a）²+2a²-3a+1=a-1．
当-1≤-a≤1 时，即 1≥a≥-1时，则t=-a时，M（a）=2a²-3a+1．
当-a＞1 时，即 a＜-1时，则t=1时，M（a）=-2（1+a）²+2a²-3a+1=-7a-1．
综上，M(a)＝ 

a−1  ， a＞1 2a2−3a +1 ，−1 ≤a≤1 −7a−1 ， a＜−1

．
（2）当a＞1时，M（a）=a-1，最小值大于0． 
当-1≤a≤1时，M（a）=2a²-3a+1，最小值为-

1

8

．
当a＜-1时，M（a）=-7a-1＞6．
综上可得 M（a）的最小值为−

1

8

．

（1）利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为-2 （sinx+a）²+2a²-3a+1，令sinx=t∈[-1，1]，则 函数y=-2（t+a）²+2a²-3a+1．利用二次函数的性质，求出函数在闭区间[-1，1]的最大值．
（2）当a＞1时，M（a）=a-1，最小值大于0． 当-1≤a≤1时，M（a）=2a²-3a+1，最小值为-

1

8

．当a＜-1时，M（a）=-7a-1＞6．综合可得M（a）的最小值．

本题考点：三角函数的最值；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，复合函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．